Sinusna teorema

Sinusna teorema

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}$ gdje su ${\displaystyle \ a,b,c}$ stranice naspram uglova ${\displaystyle \alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,}$ u trouglu ${\displaystyle \ ABC,}$ a ${\displaystyle \ R}$ poluprečnik opisanog kruga.

U sfernoj geometriji koristi se

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}.}$

Dokaz

Oko trougla ABC opisana je kružnica poluprečnika R, na slici desno.${\displaystyle CA'=2R}$ je prečnik. Periferni uglovi nad istom tetivom ${\displaystyle BC=a}$ jednaki, tj. ${\displaystyle \alpha =\angle BAC=\angle BA'C,}$ i periferni ugao ${\displaystyle \angle CBA'}$ nad prečnikom CA' je prav. U pravouglom trouglu A'BC imamo ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{2R}},}$ odnosno ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}$

Slično dobijamo za uglove ${\displaystyle \beta ,\;\gamma }$

Teorema

Simetrala unutrašnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu proporcionalne dijelove naleglim stranicama .

Simetrala dijeli ugao S na dva jednaka dijela

${\displaystyle \angle ACD=\angle DCB=\phi ,\;(\angle C=\gamma =2\phi ).}$

Sinusi suplementnih uglova (koji se dopunjavaju do 180°) su jednaki i prema sinusnoj teoremi za trouglove ACD i DBC dobijamo:

${\displaystyle AD:AC=\sin \phi :\sin \theta ,\quad DB:CB=\sin \phi :\sin \theta .}$ Otuda je ${\displaystyle \ AD:AC=DB:CB,}$